Trigonometría / T04

Identidad con cotangente y cosecante

Qué demostraremos y dónde vale

1 + \cot^{2} θ = \csc^{2} θ, \sin θ \neq 0 .

En radianes, excluimos $θ = k π$ , con $k \in ℤ$ . En esos ángulos cotangente y cosecante no están definidas.

¿Por qué excluimos esos ángulos? Son exactamente los ceros del seno. Tanto $\cot θ$ como $\csc θ$ tienen $\sin θ$ en el denominador. Dividir por cero no está definido. Aquí $k$ recorre todos los números enteros.

Prerrequisitos: T01, división de una igualdad por una cantidad no nula y las definiciones:

\cot θ = \frac{\cos θ}{\sin θ}, \csc θ = \frac{1}{\sin θ} .

Demostración paso a paso

Paso 1 · Partir de la identidad fundamental

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1 .

Paso 2 · Justificar la división

1. La exclusión de ángulos garantiza:

\sin θ \neq 0

2. El cuadrado de un número real no nulo es positivo:

\sin^{2} θ > 0

3. Por ello, podemos dividir ambos miembros de la identidad por esta misma cantidad no nula.

Paso 3 · Dividir y separar las fracciones

Dividimos ambos miembros completos por $\sin^{2} θ$ :

\frac{\sin^{2} θ + \cos^{2} θ}{\sin^{2} θ} = \frac{1}{\sin^{2} θ}

Distribuimos el denominador entre los términos de la suma:

\frac{\sin^{2} θ}{\sin^{2} θ} + \frac{\cos^{2} θ}{\sin^{2} θ} = \frac{1}{\sin^{2} θ}

(*)

Paso 4 · Explicar cada simplificación

El cociente de una cantidad no nula por sí misma es uno:

\frac{\sin^{2} θ}{\sin^{2} θ} = 1

Usamos la propiedad del cuadrado de un cociente y la definición de $\cot θ$ :

\frac{\cos^{2} θ}{\sin^{2} θ} = {(\frac{\cos θ}{\sin θ})}^{2} = \cot^{2} θ

La misma propiedad y la definición de $\csc θ$ dan:

\frac{1}{\sin^{2} θ} = {(\frac{1}{\sin θ})}^{2} = \csc^{2} θ

Paso 5 · Sustituyendo en (*)

Sustituyendo en (*) las tres simplificaciones obtenidas en el paso 4:

1 + \cot^{2} θ = \csc^{2} θ

La identidad queda demostrada con $\sin θ \neq 0$ .

Consecuencias por despeje

A · Despejar $\cot^{2} θ$

Partimos de la identidad demostrada:

1 + \cot^{2} θ = \csc^{2} θ

Restamos 1 en ambos miembros:

1 + \cot^{2} θ - 1 = \csc^{2} θ - 1

Simplificamos los términos opuestos:

\cot^{2} θ = \csc^{2} θ - 1

B · Obtener una igualdad con 1 a la izquierda

Volvemos a la identidad demostrada:

1 + \cot^{2} θ = \csc^{2} θ

Restamos $\cot^{2} θ$ en ambos miembros:

1 + \cot^{2} θ - \cot^{2} θ = \csc^{2} θ - \cot^{2} θ

Simplificamos y conservamos el orden de los miembros:

1 = \csc^{2} θ - \cot^{2} θ

En ambos despejes se mantiene $\sin θ \neq 0$ .

Comprueba tu razonamiento

¿Por qué esta demostración excluye $θ = 0$ , aunque T01 sí valga allí?
Si $\cot θ = 3 / 4$ , calcula $\csc^{2} θ$ . ¿Queda fijado el signo de la cosecante?
¿La identidad vale en $θ = π / 2$ ?

Ver respuestas razonadas

1. Porque el nuevo paso de dividir por seno al cuadrado no está permitido en cero.

2. La cosecante al cuadrado es $25 / 16$ , pero su signo requiere información adicional.

3. Sí. En $π / 2$ , cotangente es $0$ , cosecante es $1$ y se obtiene $1 + 0 = 1$ .

Breve conexión cotidiana: permite expresar relaciones entre altura, distancia horizontal y distancia inclinada usando un ángulo de referencia.