Trigonometría / T01

Identidad trigonométrica fundamental

Qué demostraremos

Para todo ángulo real $θ$ :

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1 .

Prerrequisitos: coordenadas cartesianas, cuadrados de números reales y teorema de Pitágoras. Tomamos Pitágoras como resultado previamente demostrado por una vía geométrica que no dependa de esta identidad.

Apoyo visual

Un punto en la circunferencia unitaria

El radio vale 1. La coordenada horizontal es el coseno y la vertical es el seno; pueden ser negativas.

Ángulo ilustrativo: 35°

Radio:

r = 1

Explorar ángulos ayuda a comprender. La demostración que sigue vale para todo ángulo real y no depende de esta comprobación numérica.

Rojo: radio y punto Q. Azul: componentes y proyección.

Exploración dinámica

Dos curvas que siempre suman uno

El mismo ángulo mueve el punto de la circunferencia y los marcadores de esta gráfica. Las curvas muestran los cuadrados: ambos son no negativos, aunque seno y coseno puedan ser negativos.

Ángulo compartido: 35°

━

\sin^{2} θ

┄

\cos^{2} θ

━

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

\sin^{2} θ

\cos^{2} θ

Suma

Valores redondeados a cuatro decimales. La suma se calcula antes de redondear; la identidad exacta se demuestra debajo. La animación se inicia solo al pulsar Reproducir.

Demostración paso a paso

Paso 1 · Construir la circunferencia unitaria

Dibujamos una circunferencia de centro $O = (0, 0)$ y radio $1$ . Desde el semieje positivo horizontal recorremos un ángulo orientado, tomando el sentido antihorario como positivo, $θ$ . Su lado terminal corta la circunferencia en un punto $Q = (x, y)$ .

Por qué sirve: conocemos exactamente la distancia de $O$ a $Q$ : es $O Q = 1$ .

Paso 2 · Aplicar Pitágoras a las coordenadas

Si el punto no está en un eje, su proyección perpendicular sobre el eje horizontal forma un triángulo rectángulo con catetos de longitudes $| x |$ y $| y |$ , e hipotenusa de longitud $1$ . Por Pitágoras:

| x |^{2} + | y |^{2} = 1^{2} .

Como el cuadrado de un número real coincide con el cuadrado de su valor absoluto:

x^{2} + y^{2} = 1 .

Si $Q$ está sobre un eje, una coordenada es $0$ y la otra es $1$ o $- 1$ ; la misma igualdad se verifica directamente. Así cubrimos también esos casos sin recurrir a un triángulo degenerado.

Paso 3 · Obtener las coordenadas y sustituir

Para un punto $Q = (x, y)$ a distancia $r > 0$ del origen, las coordenadas son cantidades con signo:

\cos θ = \frac{x}{r}

x = r \cos θ

En la circunferencia unitaria, $r = 1$ :

x = 1 \cdot \cos θ = \cos θ

\sin θ = \frac{y}{r}

y = r \sin θ

Como $r = 1$ :

y = 1 \cdot \sin θ = \sin θ

Por tanto, $Q = (x, y) = (\cos θ, \sin θ)$ . Sustituimos en la igualdad obtenida con Pitágoras:

\cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1

Por conmutatividad de la suma:

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

Conexión futura con coordenadas polares: para cualquier $r > 0$ , $x = r \cos θ$ e $y = r \sin θ$ . Aquí hemos estudiado el caso $r = 1$ .

La identidad vale en todos los cuadrantes y sobre los ejes.

Comprueba tu razonamiento

¿Por qué usamos $| x |$ y $| y |$ como longitudes de los catetos?
¿Qué ocurre en $θ = π$ ?
¿Comprobar cien ángulos demostraría la identidad para todos los reales?

Ver respuestas razonadas

1. Porque las longitudes son no negativas aunque las coordenadas puedan ser negativas.

2. En $θ = π$ , seno es $0$ y coseno es $- 1$ : $0^{2} + (- 1)^{2} = 1$ .

3. No. Cien comprobaciones son ejemplos; la demostración cubre un ángulo arbitrario.

Breve conexión cotidiana: permite relacionar componentes horizontales y verticales de desplazamientos y fuerzas.