Trigonometría / T02

Dos despejes de la identidad fundamental

Qué demostraremos

Para todo $θ \in ℝ$ :

\sin^{2} θ = 1 - \cos^{2} θ, \cos^{2} θ = 1 - \sin^{2} θ .

Prerrequisitos: T01 y conservación de la igualdad al sumar o restar la misma cantidad en ambos miembros.

Demostración paso a paso

Demostración A · Despejar el seno al cuadrado

Paso 1. Partimos del resultado demostrado en T01:

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1 .

Paso 2. Restamos $\cos^{2} θ$ en ambos miembros:

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ - \cos^{2} θ = 1 - \cos^{2} θ .

Paso 3. Simplificamos los términos opuestos:

\sin^{2} θ = 1 - \cos^{2} θ .

Demostración B · Despejar el coseno al cuadrado

Paso 1. Volvemos a la identidad fundamental:

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1 .

Paso 2. Restamos $\sin^{2} θ$ en ambos miembros:

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ - \sin^{2} θ = 1 - \sin^{2} θ .

Paso 3. Reordenamos la suma y cancelamos los términos opuestos:

\cos^{2} θ = 1 - \sin^{2} θ .

Conclusión: ambos despejes son equivalentes a T01. Son válidos para todo ángulo real, porque no hemos dividido por ninguna expresión.

Cuidado al extraer raíces

De $\sin^{2} θ = 1 - \cos^{2} θ$ se sigue:

| \sin θ | = \sqrt{1 - \cos^{2} θ} .

La raíz cuadrada principal es no negativa. Por eso no podemos afirmar para todo ángulo que $\sin θ = \sqrt{1 - \cos^{2} θ}$ . El signo del seno depende del cuadrante o de la posición sobre los ejes. Lo mismo sucede con el coseno.

Comprueba tu razonamiento

Completa: $\cos^{2} θ = 1 - ◻$ .
Si $\cos θ = 3 / 5$ y $θ$ está en el primer cuadrante, calcula $\sin θ$ mediante un dibujo y el teorema de Pitágoras. ¿Qué cambiaría si no conocieras el cuadrante?
En el tercer cuadrante, ¿es correcto escribir $\sin θ = + \sqrt{1 - \cos^{2} θ}$ ?

Ver respuestas razonadas

1. El término faltante es $\sin^{2} θ$ .

2 · Ejemplo geométrico, paso a paso

Tomamos una circunferencia de radio $r = 5$ y un punto Q en el primer cuadrante.

\cos θ = \frac{x}{r} = \frac{3}{5}

Elegimos $x = 3$ y $r = 5$ . Esta elección conserva la razón $3 / 5$ .

Aplicamos Pitágoras y restamos 9 en ambos miembros:

3^{2} + y^{2} = 5^{2}

9 + y^{2} - 9 = 25 - 9

y^{2} = 16

Como Q está en el primer cuadrante, $y > 0$ . Elegimos la raíz positiva:

y = 4

\sin θ = \frac{y}{r} = \frac{4}{5}

En consecuencia, $\sin^{2} θ = 16 / 25$ . Sin información sobre el cuadrante, el coseno $3 / 5$ permite seno $4 / 5$ o $- 4 / 5$ .

3. En el tercer cuadrante el seno es negativo: corresponde la raíz con signo menos.

Breve conexión cotidiana: estos despejes permiten recuperar la magnitud de una componente a partir de otra cuando se conoce la magnitud total normalizada.