Trigonometría / T03

Identidad con tangente y secante

Qué demostraremos y dónde vale

1 + \tan^{2} θ = \sec^{2} θ, \cos θ \neq 0 .

En radianes, excluimos $θ = π / 2 + k π$ , con $k \in ℤ$ . En esos ángulos tangente y secante no están definidas.

¿Por qué excluimos esos ángulos? Son exactamente los ceros del coseno. Tanto $\tan θ$ como $\sec θ$ tienen $\cos θ$ en el denominador. Dividir por cero no está definido. Aquí $k$ recorre todos los números enteros.

Prerrequisitos: T01, división de una igualdad por una cantidad no nula y las definiciones:

\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}, \sec θ = \frac{1}{\cos θ} .

Demostración paso a paso

Paso 1 · Partir de la identidad fundamental

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1 .

Paso 2 · Justificar la división

1. La exclusión de ángulos garantiza:

\cos θ \neq 0

2. El cuadrado de un número real no nulo es positivo:

\cos^{2} θ > 0

3. Por ello, podemos dividir ambos miembros de la identidad por esta misma cantidad no nula.

Paso 3 · Dividir y separar las fracciones

Dividimos ambos miembros completos por $\cos^{2} θ$ :

\frac{\sin^{2} θ + \cos^{2} θ}{\cos^{2} θ} = \frac{1}{\cos^{2} θ}

Distribuimos el denominador entre los términos de la suma:

\frac{\sin^{2} θ}{\cos^{2} θ} + \frac{\cos^{2} θ}{\cos^{2} θ} = \frac{1}{\cos^{2} θ}

(*)

Paso 4 · Explicar cada simplificación

El cociente de una cantidad no nula por sí misma es uno:

\frac{\cos^{2} θ}{\cos^{2} θ} = 1

Usamos la propiedad del cuadrado de un cociente y la definición de $\tan θ$ :

\frac{\sin^{2} θ}{\cos^{2} θ} = {(\frac{\sin θ}{\cos θ})}^{2} = \tan^{2} θ

La misma propiedad y la definición de $\sec θ$ dan:

\frac{1}{\cos^{2} θ} = {(\frac{1}{\cos θ})}^{2} = \sec^{2} θ

Paso 5 · Sustituyendo en (*)

Sustituyendo en (*) las tres simplificaciones obtenidas en el paso 4:

\tan^{2} θ + 1 = \sec^{2} θ

Por conmutatividad de la suma:

1 + \tan^{2} θ = \sec^{2} θ

La identidad queda demostrada con $\cos θ \neq 0$ .

Consecuencias por despeje

A · Despejar $\tan^{2} θ$

Partimos de la identidad demostrada:

1 + \tan^{2} θ = \sec^{2} θ

Restamos 1 en ambos miembros:

1 + \tan^{2} θ - 1 = \sec^{2} θ - 1

Simplificamos los términos opuestos:

\tan^{2} θ = \sec^{2} θ - 1

B · Obtener una igualdad con 1 a la izquierda

Volvemos a la identidad demostrada:

1 + \tan^{2} θ = \sec^{2} θ

Restamos $\tan^{2} θ$ en ambos miembros:

1 + \tan^{2} θ - \tan^{2} θ = \sec^{2} θ - \tan^{2} θ

Simplificamos y conservamos el orden de los miembros:

1 = \sec^{2} θ - \tan^{2} θ

En ambos despejes se mantiene $\cos θ \neq 0$ .

Comprueba tu razonamiento

¿Por qué no se puede realizar el paso 3 en $θ = π / 2$ ?
Si $\tan θ = 3 / 4$ , calcula $\sec^{2} θ$ . ¿Queda fijado el signo de la secante?
¿La identidad vale en $θ = 0$ ?

Ver respuestas razonadas

1. Porque el denominador sería cero.

2. La secante al cuadrado es $1 + 9 / 16 = 25 / 16$ ; la secante puede ser $5 / 4$ o $- 5 / 4$ y hace falta más información para elegir el signo.

3. Sí. En cero, tangente es $0$ , secante es $1$ y la igualdad da $1 + 0 = 1$ .

Breve conexión cotidiana: relaciona pendiente y factor de longitud en modelos de rampas y trayectorias rectas.