Definición de elipse

Las letras de una elipse

• Focos \(F_1\) y \(F_2\): los dos puntos fijos. Aquí se ubican sobre el eje horizontal, en \((-c,\;0)\) y \((c,\;0)\). La letra \(c\) es la distancia de cada foco al centro.
• \(d_1\) y \(d_2\): las distancias desde un punto \(P\big(x,\;y\big)\) de la elipse a cada foco.
• \(a\): la mitad del ancho de la elipse. Los extremos izquierdo y derecho están en \((-a,\;0)\) y \((a,\;0)\).
• \(b\): la mitad del alto de la elipse. Los extremos de arriba y abajo están en \((0,\;b)\) y \((0,\;-b)\).

Míralo moverse

El punto \(P\big(x,\;y\big)\) recorre la elipse. El trazo azul es \(d_1\), la distancia de \(P\) a \(F_1\). El trazo verde es \(d_2\), la distancia de \(P\) a \(F_2\). Cada distancia cambia: cuando una crece, la otra se achica. Bajo la gráfica se ve que su suma no cambia.

• Puntos \((-a,\;0)\) y \((a,\;0)\): los vértices, los extremos del eje mayor. Están a distancia \(a\) del centro.
• Puntos \((0,\;-b)\) y \((0,\;b)\): los extremos del eje menor. Están a distancia \(b\) del centro.
• Focos \(F_1(-c,\;0)\) y \(F_2(c,\;0)\): están a distancia \(c\) del centro.
• Marcas naranjas \(a\), \(b\) y \(c\): \(a\) va del centro al vértice \((a,\;0)\); \(b\) va del centro a \((0,\;b)\); \(c\) va del centro al foco \(F_2\).
• Trazo naranja punteado, de largo \(a\): une \((0,\;b)\) con el foco \(F_2\). Con \(b\) y \(c\) forma un triángulo rectángulo, por eso \(a^2=b^2+c^2\).

En la animación \(a=3\) y \(b=2\). La suma constante es \(6\), que es \(2a\).

Por qué la suma constante vale \(2a\)

1. La suma \(d_1+d_2\) vale lo mismo para todos los puntos de la elipse. Para saber cuánto vale basta calcularla en un punto cómodo. Se elige el extremo derecho, \(P\big(a,\;0\big)\).
2. Distancia de \((a,\;0)\) al foco \(F_1(-c,\;0)\). Los dos están sobre el eje horizontal, así que es la diferencia de abscisas: \[d_1=a-(-c)=a+c\]
3. Distancia de \((a,\;0)\) al foco \(F_2(c,\;0)\): \[d_2=a-c\]
4. Suma. Se cancelan \(c\) y \(-c\): \[d_1+d_2=(a+c)+(a-c)=2a\]

De dónde sale la ecuación, paso a paso

1. Se escriben las dos distancias con la fórmula de la distancia entre dos puntos. De \(P(x,\;y)\) a \(F_1(-c,\;0)\) y de \(P(x,\;y)\) a \(F_2(c,\;0)\): \[d_1=\sqrt{(x+c)^2+y^2}\qquad d_2=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]
2. Se escribe la condición \(d_1+d_2=2a\): \[\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a\]
3. Se deja una raíz sola a la izquierda, pasando la otra restando: \[\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]
4. Se elevan los dos lados al cuadrado. A la derecha se usa \((p-q)^2=p^2-2pq+q^2\): \[(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2\]
5. Se desarrollan \((x+c)^2\) y \((x-c)^2\): \[x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+x^2-2cx+c^2+y^2\]
6. Se cancelan \(x^2\), \(c^2\) e \(y^2\), que están en los dos lados: \[2cx=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}-2cx\]
7. Se deja la raíz sola a la izquierda. La raíz pasa sumando y \(2cx\) pasa restando, con lo que a la derecha queda \(-2cx-2cx=-4cx\): \[4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=4a^2-4cx\]
8. Se divide todo por \(4\): \[a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2-cx\]
9. Se elevan otra vez los dos lados al cuadrado: \[a^2\big[(x-c)^2+y^2\big]=(a^2-cx)^2\]
10. Se desarrollan los dos lados: \[a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2\]
11. Se cancela \(-2a^2cx\), que está en los dos lados: \[a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2=a^4+c^2x^2\]
12. Se pasan los términos con \(x\) e \(y\) a la izquierda y los demás a la derecha: \[a^2x^2-c^2x^2+a^2y^2=a^4-a^2c^2\]
13. Se factoriza \(x^2\) a la izquierda y \(a^2\) a la derecha: \[(a^2-c^2)\,x^2+a^2y^2=a^2\,(a^2-c^2)\]
14. La cantidad \(a^2-c^2\) aparece dos veces. Es positiva, porque \(a\) es mayor que \(c\): los focos están dentro de la elipse. Se le pone nombre: \[b^2=a^2-c^2\]
15. Se reemplaza: \[b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\]
16. Se dividen los dos lados por \(a^2b^2\) y se simplifica cada fracción: \[\frac{b^2x^2}{a^2b^2}+\frac{a^2y^2}{a^2b^2}=\frac{a^2b^2}{a^2b^2}\;\Longrightarrow\;\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]

Para la animación: \(c^2=3^2-2^2=9-4=5\), así que \(c=\sqrt{5}\approx 2{,}24\).

Ejercicios de refuerzo