1. Cursos
  2. Geometría Analítica
  3. Circunferencia (Cónica)
  4. Ecuación de la circunferencia en forma ordinaria

Ecuación de la circunferencia en forma ordinaria

Una circunferencia es el conjunto de puntos que cumplen una condición particular. También se dice que es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan una distancia \(r\) de un punto llamado centro.

Gracias al teorema de Pitágoras, ocupando la fórmula de distancia, podemos deducir su ecuación.

Los tres datos de una circunferencia

  • Centro \(C\big(h,\;k\big)\): el punto fijo. Su abscisa se llama \(h\) y su ordenada \(k\).
  • Radio \(r\): la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia. Es un número positivo.
  • Punto \(P\big(x,\;y\big)\): un punto cualquiera de la circunferencia. La ecuación es la condición que deben cumplir \(x\) e \(y\) para que \(P\) esté en ella.

Míralo moverse

El punto \(P\big(x,\;y\big)\) recorre la circunferencia de centro \(C\big(h,\;k\big)\). Cada elemento de la figura es:

  • Marcas en los ejes: \(h\) y \(x\) en el eje horizontal, \(k\) e \(y\) en el eje vertical.
  • Cateto naranja horizontal \(x-h\): la diferencia de abscisas entre \(P\) y el centro.
  • Cateto naranja vertical \(y-k\): la diferencia de ordenadas entre \(P\) y el centro.
  • Trazo azul \(r\): el radio, que es la hipotenusa del triángulo.

Al girar \(P\), los dos catetos cambian y pueden ser negativos cuando \(P\) queda a la izquierda o debajo del centro. La hipotenusa mide siempre lo mismo. Bajo la gráfica se ve que la suma de los cuadrados de los catetos no cambia.

De dónde sale la ecuación, paso a paso

  1. Por definición, \(P\big(x,\;y\big)\) está en la circunferencia cuando su distancia al centro \(C\big(h,\;k\big)\) es igual al radio: \[\text{distancia de } P \text{ a } C=r\]
  2. Se escribe esa distancia con la fórmula de la distancia entre dos puntos, \(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\), usando \(C\) como primer punto y \(P\) como segundo: \[\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}=r\]
  3. Se elevan los dos lados al cuadrado para eliminar la raíz. Se puede hacer sin perder ni agregar soluciones porque los dos lados son positivos o cero: \[\left(\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}\right)^2=r^2\]
  4. El cuadrado deshace la raíz: \[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\]

Forma ordinaria

\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\]

Dentro de los paréntesis las coordenadas del centro aparecen restando. Por eso \((x-2)\) indica \(h=2\), y \((x+2)\), que es \(\big(x-(-2)\big)\), indica \(h=-2\). Al lado derecho está el radio al cuadrado, no el radio.

Ejercicios de refuerzo

AEscribe la ecuación de la circunferencia de centro \((2,\;-3)\) y radio \(4\).

Pista

Reemplaza \(h=2\), \(k=-3\) y \(r=4\). Cuidado con \(y-(-3)\).

Solución paso a paso
  1. Se identifican los datos: \[h=2\qquad k=-3\qquad r=4\]
  2. Se reemplazan en \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\): \[(x-2)^2+\big(y-(-3)\big)^2=4^2\]
  3. Se simplifica el signo. Restar \(-3\) es sumar \(3\): \[(x-2)^2+(y+3)^2=4^2\]
  4. Se calcula el cuadrado del radio: \[(x-2)^2+(y+3)^2=16\]

BHalla el centro y el radio de la circunferencia \((x+1)^2+(y-5)^2=49\).

Pista

Lleva la ecuación a la forma con restas: \(x+1=x-(-1)\).

Solución paso a paso
  1. Se escribe \(x+1\) como una resta, para comparar con \((x-h)\): \[x+1=x-(-1)\]
  2. Se escribe \(49\) como un cuadrado, para comparar con \(r^2\): \[49=7^2\]
  3. La ecuación queda: \[\big(x-(-1)\big)^2+(y-5)^2=7^2\]
  4. Se compara con \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\): \[h=-1\qquad k=5\qquad r=7\]
  5. El centro es \(C(-1,\;5)\) y el radio es \(7\). Se descarta \(r=-7\) porque un radio es una distancia y no puede ser negativo.

CUna antena ubicada en \((2,\;2)\) cubre hasta \(5\ \text{km}\). Las coordenadas están en kilómetros. ¿Una casa en \((5,\;6)\) queda dentro de la zona cubierta?

Pista

El borde de la zona es una circunferencia. Calcula \((x-h)^2+(y-k)^2\) para la casa y compáralo con \(r^2\).

Solución paso a paso
  1. El borde de la zona cubierta es la circunferencia de centro \((2,\;2)\) y radio \(5\): \[(x-2)^2+(y-2)^2=5^2=25\]
  2. Un punto está dentro si su distancia al centro es menor que el radio, es decir si \((x-2)^2+(y-2)^2<25\). Está en el borde si es igual a \(25\) y fuera si es mayor.
  3. Diferencia de abscisas para la casa: \[x-h=5-2=3\]
  4. Diferencia de ordenadas para la casa: \[y-k=6-2=4\]
  5. Suma de los cuadrados: \[3^2+4^2=9+16=25\]
  6. Resulta exactamente \(25\). La casa está a \(5\ \text{km}\) de la antena: queda justo en el borde de la zona cubierta.