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Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Míralo moverse

La recta pasa por el punto fijo \(P_1\big(x_1,\;y_1\big)\) y por el punto \(P_2\big(x_2,\;y_2\big)\), que la recorre. Cada elemento de la figura es:

  • Punto azul \(P_2\big(x_2,\;y_2\big)\): el segundo punto de la recta. Se mueve sobre ella y sus coordenadas \(x_2\) e \(y_2\) están marcadas en los ejes.
  • Cateto naranja horizontal \(x_2-x_1\): lo que avanza \(P_2\) respecto de \(P_1\). Es la misma medida que el trazo naranja sobre el eje horizontal.
  • Cateto naranja vertical \(y_2-y_1\): lo que sube \(P_2\) respecto de \(P_1\). Es la misma medida que el trazo naranja sobre el eje vertical.

Los dos catetos cambian de tamaño cuando \(P_2\) se mueve. Su cociente \(\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\), que aparece bajo la gráfica, no cambia: es la pendiente \(m\) de la recta, y es la parte fundamental de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

De dónde sale la ecuación, paso a paso

  1. Se toma un punto cualquiera \(P\big(x,\;y\big)\) de la recta, distinto de \(P_1\). Con \(P_1\) y \(P\) se forma un triángulo rectángulo de catetos \(x-x_1\) e \(y-y_1\).
  2. Con \(P_1\) y \(P_2\) se forma otro triángulo rectángulo, de catetos \(x_2-x_1\) e \(y_2-y_1\).
  3. Los dos triángulos tienen un ángulo recto y comparten el ángulo que la recta forma con la horizontal en \(P_1\). Dos triángulos con los mismos ángulos son semejantes: uno es una ampliación del otro.
  4. En triángulos semejantes los lados correspondientes guardan la misma proporción. El cociente entre el cateto vertical y el horizontal es igual en los dos: \[\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]
  5. El lado derecho se calcula solo con los dos puntos dados. Es la pendiente de la recta y se anota \(m\). Para poder dividir se necesita \(x_2\neq x_1\): \[\frac{y-y_1}{x-x_1}=m\]
  6. Se multiplican los dos lados por \((x-x_1)\) para dejar \(y-y_1\) sola: \[y-y_1=m\,(x-x_1)\]

Recta por dos puntos

Primero se calcula la pendiente con los dos puntos:

\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

Al distribuir y despejar \(y\) se llega a la forma \(y=m\,x+n\), donde \(n\) es la altura a la que la recta corta al eje vertical.

Ejercicios de refuerzo

AHalla la ecuación de la recta que pasa por \((1,\;2)\) y \((3,\;8)\).

Pista

Calcula primero la pendiente con las dos diferencias.

Solución paso a paso
  1. Se identifican las coordenadas: \[x_1=1\qquad y_1=2\qquad x_2=3\qquad y_2=8\]
  2. Diferencia de ordenadas, lo que sube: \[y_2-y_1=8-2=6\]
  3. Diferencia de abscisas, lo que avanza: \[x_2-x_1=3-1=2\]
  4. Pendiente: \[m=\frac{6}{2}=3\]
  5. Se reemplazan \(m=3\) y el punto \((1,\;2)\) en \(y-y_1=m\,(x-x_1)\): \[y-2=3\,(x-1)\]
  6. Se distribuye el \(3\): \[y-2=3x-3\]
  7. Se suma \(2\) en los dos lados: \[y=3x-3+2=3x-1\]
  8. Comprobación con el otro punto. Con \(x=3\) debe resultar \(y=8\): \[3\cdot 3-1=9-1=8\]

BHalla la ecuación de la recta que pasa por \((-2,\;5)\) y \((4,\;-1)\).

Pista

Restar un negativo es sumar: \(4-(-2)=4+2\).

Solución paso a paso
  1. Se identifican las coordenadas: \[x_1=-2\qquad y_1=5\qquad x_2=4\qquad y_2=-1\]
  2. Diferencia de ordenadas: \[y_2-y_1=-1-5=-6\]
  3. Diferencia de abscisas: \[x_2-x_1=4-(-2)=4+2=6\]
  4. Pendiente. Es negativa: la recta baja hacia la derecha: \[m=\frac{-6}{6}=-1\]
  5. Se reemplazan \(m=-1\) y el punto \((-2,\;5)\): \[y-5=-1\cdot\big(x-(-2)\big)\]
  6. Se simplifica el paréntesis, \(x-(-2)=x+2\): \[y-5=-(x+2)\]
  7. Se distribuye el signo menos: \[y-5=-x-2\]
  8. Se suma \(5\) en los dos lados: \[y=-x-2+5=-x+3\]
  9. Comprobación con el otro punto. Con \(x=4\) debe resultar \(y=-1\): \[-4+3=-1\]

CUn taxi cobra \(\$1.900\) por un viaje de \(2\ \text{km}\) y \(\$4.000\) por uno de \(5\ \text{km}\). Si el cobro es lineal, halla la ecuación del cobro \(y\) en función de los kilómetros \(x\). ¿Cuánto vale la bajada de bandera?

Pista

Cada viaje es un punto: kilómetros en el eje horizontal y pesos en el vertical.

Solución paso a paso
  1. Cada viaje es un punto, con los kilómetros como abscisa y el cobro como ordenada: \[P_1(2,\;1900)\qquad P_2(5,\;4000)\]
  2. Diferencia de ordenadas, lo que sube el cobro: \[4000-1900=2100\]
  3. Diferencia de abscisas, los kilómetros de más: \[5-2=3\]
  4. Pendiente. Es lo que se cobra por cada kilómetro: \[m=\frac{2100}{3}=700\]
  5. Se reemplazan \(m=700\) y el punto \((2,\;1900)\): \[y-1900=700\,(x-2)\]
  6. Se distribuye el \(700\): \[y-1900=700x-1400\]
  7. Se suma \(1900\) en los dos lados: \[y=700x-1400+1900=700x+500\]
  8. La bajada de bandera es lo que se cobra antes de avanzar, con \(x=0\): \[y=700\cdot 0+500=500\]
  9. La bajada de bandera es \(\$500\) y cada kilómetro cuesta \(\$700\). Comprobación con el segundo viaje: \(700\cdot 5+500=4000\).