1. Cursos
  2. Geometría Analítica
  3. Coordenadas rectangulares
  4. Distancia entre dos puntos

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos del plano es la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Sus catetos son la diferencia de abscisas y la diferencia de ordenadas.

Antes de empezar: distancias sobre un eje

Sobre una recta numérica, la distancia entre dos números es su diferencia. Entre \(2\) y \(7\) hay \(7-2=5\) unidades. Si se resta en el otro orden resulta \(2-7=-5\): el mismo tamaño con signo contrario. Como una distancia no puede ser negativa, se toma el valor absoluto:

\[\text{distancia entre } x_1 \text{ y } x_2=|x_2-x_1|\]

Míralo moverse

El triángulo \(ABC\) es rectángulo en \(C\) y está en una posición cualquiera del primer cuadrante: ninguno de sus lados es paralelo a los ejes. Los catetos son \(CB\) y \(CA\), los dos lados menores; la hipotenusa es \(AB\). El triángulo gira y la animación mide un lado a la vez, primero la hipotenusa y después cada cateto. Cada elemento de la figura es:

  • Triángulo \(ABC\): el cuadrado pequeño en \(C\) marca el ángulo recto.
  • Lado azul: el lado que se está midiendo. Su longitud es la distancia entre sus dos extremos.
  • Marcas en los ejes: las coordenadas de los dos extremos del lado azul, las \(x\) en el eje horizontal y las \(y\) en el eje vertical.
  • Trazos naranjas sobre los ejes: la diferencia de abscisas y la diferencia de ordenadas de esos dos extremos.
  • Trazos naranjas punteados: las mismas dos diferencias, llevadas junto al lado azul. Son paralelas a los ejes, así que forman un ángulo recto entre ellas. Con el lado azul arman un triángulo rectángulo auxiliar, y ahí se aplica el teorema de Pitágoras.
  • Barras de valor absoluto \(|\ \ |\): una longitud nunca es negativa. Si la resta de coordenadas da negativa, la longitud del trazo es ese número sin el signo. Al elevar al cuadrado el signo desaparece, por eso la fórmula no necesita las barras.
  • \(d_{AB}\), \(d_{CB}\), \(d_{CA}\): las longitudes de los tres lados.

La fórmula sirve para cualquier trazo, esté inclinado como esté

Para medir un trazo inclinado no hace falta que sea paralelo a un eje. Siempre se puede construir el triángulo auxiliar de trazos punteados, con un cateto horizontal y otro vertical, y el trazo inclinado queda como su hipotenusa. La última línea de valores comprueba el resultado en el triángulo \(ABC\): la suma de los cuadrados de los catetos \(d_{CB}\) y \(d_{CA}\) es igual al cuadrado de la hipotenusa \(d_{AB}\), en todas las posiciones del giro.

Demostración de la fórmula, paso a paso

  1. Se tienen los puntos \(P_1\big(x_1,\;y_1\big)\) y \(P_2\big(x_2,\;y_2\big)\). Se agrega un tercer punto \(Q\), que está a la misma altura que \(P_1\) y justo debajo o encima de \(P_2\): \[Q\big(x_2,\;y_1\big)\]
  2. El trazo \(P_1Q\) es horizontal, porque \(P_1\) y \(Q\) tienen la misma ordenada \(y_1\). Su largo es la distancia entre sus abscisas: \[P_1Q=|x_2-x_1|\]
  3. El trazo \(QP_2\) es vertical, porque \(Q\) y \(P_2\) tienen la misma abscisa \(x_2\). Su largo es la distancia entre sus ordenadas: \[QP_2=|y_2-y_1|\]
  4. Un trazo horizontal y uno vertical forman un ángulo recto. Entonces \(P_1QP_2\) es un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en \(Q\), y \(d=P_1P_2\) es su hipotenusa.
  5. Por el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos: \[d^2=|x_2-x_1|^2+|y_2-y_1|^2\]
  6. El cuadrado de un número y el cuadrado de su valor absoluto son iguales, porque al elevar al cuadrado el signo desaparece. Se pueden quitar las barras: \[d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\]
  7. Se saca raíz cuadrada. Se toma la raíz positiva porque \(d\) es una distancia: \[d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

Fórmula de la distancia

\[d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

Da lo mismo cuál punto se llama \(P_1\) y cuál \(P_2\): al cambiar el orden las diferencias cambian de signo, pero sus cuadrados no.

Ejercicios de refuerzo

ACalcula la distancia entre \(A(1,\;2)\) y \(B(4,\;6)\).

Pista

Calcula primero las dos diferencias: \(4-1\) y \(6-2\).

Solución paso a paso
  1. Se identifican las coordenadas: \[x_1=1\qquad y_1=2\qquad x_2=4\qquad y_2=6\]
  2. Diferencia de abscisas: \[x_2-x_1=4-1=3\]
  3. Diferencia de ordenadas: \[y_2-y_1=6-2=4\]
  4. Se reemplaza en la fórmula: \[d=\sqrt{3^2+4^2}\]
  5. Se calculan los cuadrados y se suman: \[d=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}\]
  6. Resultado: \[d=5\]

BCalcula la distancia entre \(A(-3,\;4)\) y \(B(5,\;-2)\).

Pista

Cuidado con los signos: restar un negativo es sumar.

Solución paso a paso
  1. Se identifican las coordenadas: \[x_1=-3\qquad y_1=4\qquad x_2=5\qquad y_2=-2\]
  2. Diferencia de abscisas. Restar \(-3\) es sumar \(3\): \[x_2-x_1=5-(-3)=5+3=8\]
  3. Diferencia de ordenadas: \[y_2-y_1=-2-4=-6\]
  4. Se reemplaza en la fórmula: \[d=\sqrt{8^2+(-6)^2}\]
  5. Se calculan los cuadrados. \((-6)^2=(-6)\cdot(-6)=36\): el signo desaparece: \[d=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}\]
  6. Resultado: \[d=10\]

CEn un plano cuadriculado en kilómetros, la casa de Ana está en \((2,\;1)\) y su colegio en \((14,\;6)\). ¿Qué distancia en línea recta los separa?

Pista

La casa es \(P_1\) y el colegio es \(P_2\). Las diferencias son \(14-2\) y \(6-1\).

Solución paso a paso
  1. Se identifican las coordenadas, con la casa como \(P_1\) y el colegio como \(P_2\): \[x_1=2\qquad y_1=1\qquad x_2=14\qquad y_2=6\]
  2. Diferencia de abscisas: \[x_2-x_1=14-2=12\ \text{km}\]
  3. Diferencia de ordenadas: \[y_2-y_1=6-1=5\ \text{km}\]
  4. Se reemplaza en la fórmula: \[d=\sqrt{12^2+5^2}\]
  5. Se calculan los cuadrados y se suman: \[d=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}\]
  6. Resultado: \[d=13\ \text{km}\]